Robert Meyer wurde 1953 in Bad Reichenhall/Bayern geboren. Nach einer Lehre als Baustoff-Kaufmann besuchte er in Salzburg die Hochschule für Musik und darstellende Kunst „Mozarteum“, Abteilung Schauspiel und Regie, die er 1974 mit Auszeichnung abschloss. Noch im selben Jahr debütierte er als Schweizerkas in Bert Brechts „Mutter Courage und ihre Kinder“ am Burgtheater. Bis 2007 war Robert Meyer Ensemblemitglied des Burgtheaters und spielte dort über neunzig Rollen. Seit Beginn seiner Karriere war Robert Meyer auch immer wieder für Film und Fernsehen tätig. In Michael Glawoggers Film „Die Ameisenstrasse“ spielte er eine der Hauptrollen, unter der Regie von Maximilian Schell den Erich in Horvaths „Geschichten aus dem Wienerwald“ und unter der Regie von Gerhard Polt die Filme „Herr Ober“ und „Und Äktschn!“. Darüber hinaus übernahm er zahlreiche Rollen in TV-Serien wie „Tatort“, „Derrick“, „Der Alte“, „Der Bulle von Tölz“ und viele weitere.
2007 übernahm Robert Meyer die Direktion der Volksoper Wien. In den fünfzehn Jahren seiner Direktionszeit stand er in vielen Produktionen auch selbst auf der Bühne und führte Regie. Er gastierte am Schauspielhaus sowie an der Oper in Graz, bei den Salzburger Festspielen, sowie an der Deutschen Oper am Rhein in Düsseldorf und Dortmund. Seit 2014 ist er ständiger Gast am Staatstheater am Gärtnerplatz in München und seit der Spielzeit 2022/23 auch Gast am Theater in der Josefstadt in Wien. Von 1988 bis 1999 war Robert Meyer als Schauspieler wie auch als Regisseur am künstlerischen Aufbau der Festspiele Reichenau maßgeblich beteiligt. Mit seiner Inszenierung von Nestroys„ Einen Jux will er sich machen“ kehrt er als Regisseur, aber auch als Schauspieler in der Rolle des Melchior nach Reichenau zurück.